Zajímavé matematické úlohy

Řešení: Při prvním pohledu vidíme řešení \(x=\pm\sqrt{3}\) a \(x=\pm\sqrt{4}=\pm 2\) 

Ale, jsou všechna? Takže 

\( y=x^2-3\)

\(\sqrt[3]{1-y}+\sqrt{y}=1\)

 \( z=\sqrt{y}\)

\(\sqrt[3]{1-z^2}+z=1\)

 \(\sqrt[3]{1-z^2}=1-z\)

\(1-z^2=1-3z+3z^2-z^3\)

\(z^3-4z^2+3z=0\)

 \(z=0\)

z toho \(0=x^2-3\) a proto \(x=\pm\sqrt{3}\)

\(z^2-4z+3=0\)

\( (z-1)(z-3)=0\)

z toho

\(z=1\) a tedy \(1=x^2-3\) a proto \(x=\pm 2\)

 nebo

\(z=3\) a tedy \(9=x^2-3\) a proto \(x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\)

 Pak tedy \(K= \{\pm 2, \pm\sqrt{3}, \pm 2\sqrt{3}  \}\) 

Řešení: úloha spíše na lehké procvičení 

\( \sqrt{x+6}=6-\sqrt{x} \) 

\( x+6=36-12\sqrt{x}+x \) 

\(30=12\sqrt{x} \) 

\(\sqrt{x}=\frac{5}{2} \) 

\(x=\frac{25}{4} \) 

Řešení:

Nebudu řešení přepisovat, podívejte se na video

Řešení:

Vidíme, že pro 1 bude rovnice platit, tedy x=1. Ale, jsou to všechna řešení?

Tak

\( (2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=4 \)

Platí

\(2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)

Pak

\( (2+\sqrt{3})^x+\frac{1}{(2+\sqrt{3})^x}=4 \)

\( A=(2+\sqrt{3})^x\)

\(  A+\frac{1}{A}=4 \)

\(  A^2-4A+1=0\)

 \( A_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3} \)

\( (2+\sqrt{3})^x=2\pm \sqrt{3} \)

\( x=\pm 1\) 😄

 chytrá úloha, chvíli trvá, než se na řešení přijde (nejjednodušší je místo x si  myslet y² ) a pak je to triviální

\( x\sqrt{x}-10\sqrt{x}-\sqrt{x}=10\)

\( x\sqrt{x}-\sqrt{x}=10+10\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x}\cdot(x-1)=10(1+\sqrt{x})\)

\(\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=10(1+\sqrt{x})\)

\(\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}-1)=10 \) 

\(x-\sqrt{x}=10 \)

 \(x^2+y^2=2009 \)

Platí \(2009=7^2\cdot 41 \)

 \(2009=7^2\cdot (16+25)=7^2\cdot 4^2+7^2\cdot 5^2 =28^2+35^2\)

 Tak jedno řešení máme. Ale je to všechno?

Sllový důkaz pomocí MS EXCEL ukazuje, že ano.

A analyticky?

Jediná možnost rozložení čísla 2009 na Gaussovská prvočísla je

\( 2009=7^2\cdot 41 =7^2\cdot (3+4i)(3-4i)\)

kde 7 je Gaussovské prvočíslo. Pak tedy existuje pouze jediná kombinace vedoucí na součet druhých mocnin a ta je uvedená výše.

Řešení: - téměř standardní úloha

 \( \frac{1}{3}\log{x}=\sqrt{\log{x}}\)

\( y^2=\log{x}\)

\( \frac{y^2}{3}=y\)

\(y^2-3y=0\)

\(y=0\) nebo \(y=3\)

\(x=1\) nebo \(x=10^9\) 

Řešení: opět standard

\(3^x=5^3\cdot 5^x\)

\( \frac{3^x}{5^x}=5^3\)

 \( (\frac{3}{5})^x=5^3\)

\(x\cdot\log{\frac{3}{5}}=3\log{5}\)

\( x=\frac{3\log{5}}{\log{3}-\log{5}}\)

Řešení:

\(3^x+3^{2-x}=6 \)

\(3^x+3^2\cdot 3^{-x}=6 \)

 \( y=3^x\)

\(y+\frac{9}{y}=6\)

\(y^2-6y+9=0\)

\( (y-3)^2=0\)

\(y=3\)

\(x=1\) a tedy i  \(y=1\)

Velice hezká úloha. Řešení:

\(x=\frac{\log225}{\log3}\)

\(y=\frac{\log225}{\log5}\)

\( \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{\log2}{\log225}+\frac{\log5}{\log225}= \frac{\log3+\log5}{\log225} = \frac{\log15}{\log{(15^2)}}=\frac{\log15}{2\cdot \log15}=\frac{1}{2}  \)

a tedy \( \frac{xy}{x+y}=2 \)

Řešení:  \(\sqrt{10+x}=10-\sqrt{x}\) a umocníme \(10+x=100-20\sqrt{x}+x \) tj. \(90 = 20\sqrt{x}\) a tedy \( \sqrt{x}=\frac{9}{2} \) 

Tedy \(x=\frac{81}{4}\)

Řešení: mysleme si \( x=4^y\)  pak \( 4^{y\cdot 4^y}=4^{4^y+16} \) a tedy \( y\cdot 4^y=4^y+16 \) a pak \( (y-1)\cdot 4^y=16 \)

Pokud vydělíme 4, pak \( (y-1)\cdot 4^{y-1} = 4 \) Je snad vidět, že \(y=2\) .

Pokud ne , pak

\( (y-1)\cdot \exp{( (y-1)\log{4})} = 4 \) a vynásobíme rovnici \(\log{4}\)

\( (y-1)\log{4}\cdot \exp{( (y-1)\log{4})} = 4\log{4} \)

tedy  \( (y-1)\log{4} = W(4\log{4}) \) a \( y=1+\frac{W(4\log{4})}{\log{4}} \) a pomocí Wolfram Alfa nebo přímo z definice Lambertovy funkce zjistíme, že \(W(4\log{4}) = \log{4}\) 

Tedy \( x=16\)

Poznámka: \( \log{} \) je přirozený logaritmus.

Lambertova W funkce je definována pro komplexní čísla jako \( W(z)=z\cdot e^{z} \)

Tedy pro pro rovnici v reálných číslech \(F\cdot e^F = A\) máme řešení pro A \( F=W(A) \) kde F může být jakýkoliv výraz s neznámou x.

Platí \( W(x\log{x})=\log{x}\) pro \(x \geq \frac{1}{e}\)

viz https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

 Řešení:

\( a^5+a^4+1=a^3(a^2+a)+1=a^3\cdot (-1)+1 =-a^3+1=(1-a)(a^2+a+1)=0\)

 😅

 Řešení:

\( 328=1 0100 1000=2^8+2^6+2^3=2^8+4^3+8^1 \)

ale to není jediné řešení, tedy pro všechna řešení

 😆

Řešení:

 \( \frac{2}{35}=\frac{x+y}{xy} \)

\( 2xy= 35(x+y) \)

\( 2xy= 35x+35y \) 

\( 35x-2xy+35y=0 \) 

\(  x(35-2y)+35y=0 \) 

\( x=\frac{35y}{2y-35} \) 

\(y \geq 18\)

\(x \geq 18\)

\( \frac{35y}{2y-35} \geq 18\) 

\(35y \geq 18(2y-35) \)

\(-y \geq -35 \)

\(y \leq 35 \)

A nyní finta s rozkladem

 \( 2xy-35x-35y=0 \) 

 \( x(2y-35)-\frac{35}{2}(2y-35)-\frac{35^2}{2}=0 \) 

 \( (2y-35)(x-\frac{35}{2})=\frac{35^2}{2} \) 

 \( (2y-35)(2x-35)=35^2 \) 

\( (2y-35)(2x-35)=5^2 \cdot 7^2 \) 

  Tedy

Řešení:

\(  (m+\sqrt{mn}+n) (m-\sqrt{mn}+n )=m^2+mn+n^2 \)

Tedy

\(18(m-\sqrt{mn}+n )=108\)

\( m-\sqrt{mn}+n =6 \)