Řešení úloh VŠEHOCHUŤ
Řešení úloh VŠEHOCHUŤ 4/2022
Písemná maturitní zkouška z matematiky 1903 – 1904 Gymnázium Jana Valeriána Jirsíka v Českých Budějovicích
Ve školním roce 1903 — 1904 byly v letním období zadány následující úlohy:
1. Mladík jsa tázán, jak je stár, odpověděl: „Letos (1904) je mi právě tolik let, kolik činí ciferný součet roku mého narození." Kolik let je mu?
Řešení:
Označme L rok narození studenta, pak
$$ L = 1904 - ( 1800+10\cdot a + b ) = 1 + 8 + a + b $$
$$ 95 =11a + 2b $$
Toto je diofantická rovnice, ale není ji nutné řešit obecně, musí platit a <9, a>6 a dosazujeme. Jediný vyhovující výsledek je
$$ a=7$$ $$ b=9$$
$$ L=1879 $$
2. Kterou hodnotu má je-li
x+ 3x2 + x3 + 3x4 + x5 + 3x6 + ... = 5/3
Řešení:
Poněvadž nekonečná řada konverguje, je možné ji rozdělit na dvě řady a to jsou nekonečné geometrické řady, tedy použijeme vzorec pro jejich součty
tj.
$$ x+x^{3}+x^{5}+\dots =\frac{x}{1-x^{2}} $$
$$ 3x^{2}+3x^{4}+3x^{6}+\dots =3\cdot x^{2} \frac{1}{1-x^{2}} $$
výsledné součty řad sečteme, tedy
$$3\cdot x^{2} \frac{1}{1-x^{2}}+\frac{x}{1-x^{2}} = ( 3\cdot x^{2} + x ) \frac{1}{1-x^{2}} = \frac{5}{3}$$
$$ 9x^{2}+3x=5-5x^{2}$$
$$14x^{2}+3x-5=0$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{289}}{28} $$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 17}{28}= \frac{1}{2} \textrm { nebo } \frac{-5}{7} $$
3. Koule jest protnuta rovinou. Vzniklý řez jest základnou dvou kůželů do úsečí vepsaných. V kterém poměru dělí se řezem tím poloměr koule, jestliže poměr obsahu koule ku součtu obsahů obou kůželů rovná se 9:4?
Řešení:
Načrtneme si středový řez koulí, poloměr společné podstavy obou kuželů si označíme ró.
$$\frac{9}{4}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{1}{3}\pi \rho^{2} ( r+t ) + \frac{1}{3}\pi \rho^{2} ( r-t )} $$
$$\rho^{2}=r^{2}-t^{2}$$
$$\frac{9}{4}=\frac{\frac{4}{3} \pi r^{3}}{\frac{1}{3}\pi (r^{2}-t^{2} ) ( r+t ) + \frac{1}{3}\pi ( r^{2}-t^{2} ) ( r-t )} $$
$$\frac{9}{4}=\frac{4 r^{3}}{ (r^{2}-t^{2} ) ( r+t ) + ( r^{2}-t^{2} ) ( r-t )} $$
$$\frac{9}{4}=\frac{4 r^{3}}{ 2r ( r^{2}-t^{2} ) } $$
$$\frac{9}{8}=\frac{r^{2}}{ r^{2}-t^{2} } $$
$$ k=\frac{t}{r} $$
$$\frac{9}{8}=\frac{1}{ 1-k^{2} } $$
$$ k=\frac{1}{3} $$
4. Přímka otáčí se kolem bodu A(1, 1) a z bodu B(-5, -7) spustíme na ni kolmici. Určete geometrické místo pat těchto kolmic.
Řešení:
Řešením je kružnice o průměru AC. Analytické řešení: Nejjednodušší je vyjádřit vektory CE a AE a skalární součin těchto vektorů musí být roven nule - jsou kolmé. Po úpravě obdržíme analytické vyjádření kružnice. Označme souřadnice paty kolmice [x, y]. Pak
$$ \overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{AE} = 0 $$ $$ ( x-1, y -1 ) \cdot ( x+5, y+7 ) = ( x-1 ) \cdot ( x+5 ) + ( y-1 ) \cdot ( y +7 ) = 0 $$
$$ x^{2} + 4x -5 + y^{2} +6y - 7 = 0 $$
a upravíme na rovnici kuželosečky
$$ ( x + 2 ) ^{2} -9 + ( y+3 ) ^{2} -16 =0$$
$$ ( x + 2 ) ^{2} + ( y+3 ) ^{2} =25 $$
což je rovnice kružnice se středem v bodě -2, -3 a poloměrem r = 5
Něco navíc
1. $$\sqrt[3]{8+\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-\sqrt{21}}$$
Řešení:
Tak toto bylo chybné zadání, ale nevadí, ukáži alespoň systém řešení. Nevyjde to "hezky". Označme:
$$ L = \sqrt[3]{8+\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-\sqrt{21}}$$ Pak
$$ L^{3} = 8+\sqrt{21} + 3\cdot \sqrt[3]{ ( 8+\sqrt{21} ) ^{2}}\cdot\sqrt[3]{8-\sqrt{21}}+ 3\cdot \sqrt[3]{8+\sqrt{21}}\cdot\sqrt[3]{ ( 8-\sqrt{21} ) ^{2} }+8-\sqrt{21} $$
$$ L^{3} = 16 + 3\cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-\sqrt{21}} ) \cdot ( \sqrt[3]{8+\sqrt{21}}\cdot\sqrt[3]{ 8-\sqrt{21} } ) $$
$$ L^{3} = 16 + 3\cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-\sqrt{21}} ) \cdot \sqrt[3]{64-21} $$
$$ L^{3} = 16 + 3 \cdot \sqrt[3]{43} \cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-\sqrt{21}} ) $$
$$ L^{3} = 16 + 3 \cdot \sqrt[3]{43} \cdot L $$
$$ L^{3} - 3 \cdot \sqrt[3]{43} \cdot L - 16 = 0$$
Řešením rovnice jsou dva komplexní a jeden reálný kořen
$$L=\sqrt[3]{ \frac{43}{8 - \sqrt{21}}} + \sqrt[3]{8 - \sqrt{21}}$$
což nám výraz příliš nezjednodušilo. Pro úplnost $$ L\doteq 3,8322$$
Příště již upravené zadání takové, aby to "vyšlo hezky".
2. úloha $$x^{x^{6}}=\sqrt{2}^\sqrt{2}$$
Toto není lehká úloha, ale k vyřešení stačí znát vzorečky pro mocniny a odmocniny ze základní školy. Tedy, umocníme obě strany rovnosti na 6:
$$ ( x^{x^{6}} )^{6}= ( \sqrt{2}^\sqrt{2} )^{6} $$
$$ \left(x^6\right)^\left(x^6\right) = ( \sqrt{2}^\sqrt{2} )^{6} $$
$$ \left(x^6\right)^\left(x^6\right) = 2\sqrt{2}^\left(2\sqrt{2}\right) $$
$$ \left(x^6\right)^\left(x^6\right) = \sqrt{8}^\left(\sqrt{8}\right) $$
$$x^6 =\sqrt{8}$$
$$x=\pm\sqrt[4]{2}$$
3. úloha
$$\sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1}$$
Dosti triviální úloha, řešení lze rychle uhodnout dosazováním přirozených čísel za x. Ale nejste si jistí, zda neexistují další řešení.
Řešení: obě strany rovnice umocníme na 6. Pak:
$$ ( x+3 )^{2}=(x-1)^{3}$$
$$x^2+6x+9=x^3-3x^2+3x-1$$
$$x^3-4x^2-3x-10=0$$
$$x^3 - 5x^2 + x^2 - 3x -10 =0$$
$$x^2\cdot (x-5) + (x-5)\cdot (x+2) =0$$
$$(x-5)\cdot (x^2+x+2) =0 $$
Tedy x=5, druhý trojčlen nemá řešení v reálných číslech.
Řešení úloh VŠEHOCHUŤ 5/2022
1. $$\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}$$
To už je úloha, u které výsledek vzbudí trochu respekt k iracionálním číslům.
$$ L = \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}$$ Pak
$$ L^{3} = 8+3\sqrt{21} + 3\cdot \sqrt[3]{ ( 8+3\sqrt{21} ) ^{2}}\cdot \sqrt[3]{8- 3\sqrt{21}}+ 3\cdot \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\cdot\sqrt[3]{ ( 8-3\sqrt{21} ) ^{2} }+8-3\sqrt{21} $$
$$ L^{3} = 16 + 3\cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+3\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}} ) \cdot ( \sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\cdot\sqrt[3]{ 8-3\sqrt{21} } ) $$
$$ L^{3} = 16 + 3\cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+3\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}} ) \cdot \sqrt[3]{64-9\cdot 21} $$
$$ L^{3} = 16 + 3 \cdot \sqrt[3]{-125} \cdot ( \sqrt[3]{ ( 8+3\sqrt{21} }+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}} ) $$
$$ L^{3} = 16 + 3 \cdot (-5) \cdot L $$
$$ L^{3} + 15 \cdot L - 16 = 0$$
Řešením rovnice je evidentně 1. A proto
$$(L-1)\cdot (L^2+L+16)=0$$
Druhý trojčlen nemá řešení v reálných číslech. Proto
$$L=1$$
$$\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}} = 1$$
2. Obsah modrých oblastí je stejný. Jaký je obsah oranžové oblasti?
Řešení:
Určíme obsah modrých oblastí a bílé oblasti a vše odečteme od obsahu čtverce.
Poněvadž obsah modrých oblastí je stejný, pak
$$\frac{3\cdot y}{2}=\frac{6\cdot z}{2}=\frac{6\cdot ( 6-y ) }{2}$$
$$3y=6\cdot ( 6-y ) =36-6y$$
$$9y=36$$
$$y=4$$
$$ S_{\text{modra}}=6$$
$$ S_{\text{bila}}=\frac{3\cdot 6}{2}=9$$
$$ S=36-2\cdot6-9=15$$
Řešení úloh VŠEHOCHUŤ 6/2022
Řešení:
Tato úloha mi připadá jako velice vtipné ověření základních vzorců pro obdélník a čtverec. Poněvadž, když si označíme stranu většího čtverce jako a a stranu menšího čtverce jako b, pak obsah celého velkého čtverce je $$ ( a+b)^2 $$ a obvod bílého obdélníka je $$ 2\cdot (a+b)=22 cm $$ . Pak ovšem je obsah velkého čtverce roven $$ 11^2= 121$$ kde 11 je poloviční obvod obdélníka.
Tato úloha již vyžaduje trochu přemýšlení a experimentování s různými možnostmi řešení.
Doplňme tětivu BD a spojnice bodů B a D se středem kružnice S. Pokud je obvodový úhel tětivy BD 2α, pak středový úhel je 4α.
Pak musí platit $$ \alpha +4\cdot \alpha =180^\circ $$ tj. $$\alpha =\frac{180^\circ }{5}=36^\circ $$
Pro určení úhlu beta využijeme vlastnosti lichoběžníku, kde jsou základny rovnoběžné.
Využijeme pravoúhlý trojúhelník BCP a tedy $$\delta=90^\circ -2\alpha $$ a $$\beta=90^\circ +\delta =90^\circ +90^\circ -2\alpha=180^\circ -2\cdot36^\circ =108^\circ $$
Něco navíc
1. $$ ( \sqrt{7-4\sqrt{3}} )^{x+\sqrt{x+2}}=( 2-\sqrt{3} )^{x+\sqrt[3]{2x+4}}$$
Řešení:
Výraz upravíme $$7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3} )^2$$ Pak
$$ ( 2-\sqrt{3})^{x+\sqrt{x+2}}=( 2-\sqrt{3} )^{x+\sqrt[3]{2x+4}}$$
z toho $$ x+\sqrt{x+2}=x+\sqrt[3]{2x+4}$$
$$ \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{2x+4}$$
a umocníme na 6
$$ (x+2)^3=(2x+4)^2$$
$$ (x+2)^3=4(x+2)^2$$ $$(x+2)^2 \cdot (x+2-4)=0$$ $$(x+2)^2 \cdot (x-2)=0$$
a máme dvě řešení, které splňují podmínky zadání (proveďte si zkoušku)
$$x = \pm 2 $$
2.
Řešení úlohy je patrné z obrázku:
