Všechny úlohy řešte v celých číslech
Úloha 1
\( a^2=b^2+19b+48 \)
Řešení 1-5
\( a^2=b^2+19b+48 \)
\( b^2+19b+48 -a^2=0\)
\(D= 19^2-4(48-a^2)= 169+4\cdot a^2 \)
\( D=169+4\cdot a^2 = d^2 \)
\( b =\frac{-19\pm d}{2} \)
\(169 = d^2 - 4\cdot a^2 = (d+2a)(d-2a) =13^2 \)
\( d = 13 \textrm { } a = 0 \)
\( b = -3, -16 \)
To ale není jediné řešení. Za předpokladu, že a i b jsou kladná čísla pak:
\( d^2 - 4\cdot a^2 = 169\)
což je diofantická rovnice druhého stupně a současně pythagorejská trojice
\( d^2 = 13^2 + (2a)^2 \)
Použijeme známý generátor těchto trojic pro \( x^2 + y^2 = z^2 \)
\( x =2rs \)
\( y = r^2-s^2 \)
\( z = r^2+s^2 \)
kde r, s jsou nesoudělná čísla a jedno je sudé a druhé liché a porovnáme
\( x =2rs =2a\)
\( y = r^2-s^2 = 13\)
\( z = r^2+s^2 =d \)
z druhé rovnice dostaneme (13 je prvočíslo)
\( r+s = 13\)
\( r-s = 1\)
\( r = 7 \)
\( s = 6\)
a tedy po dosazení
\( a = 42 \)
\( d = 85 \)
\( b = =\frac{-19\pm 85}{2} = 33 \) potřebujeme jen kladné řešení
Výsledek je
\( a = 42 \) a \( b = 33 \)
jiný způsob na videu
Úloha 2
\( x^{2020}+y^2=2y \)
Řešení 2-5
\( x^{2020}+y^2=2y \)
evidentně se jedná o kladná čísla - pravá strana nemůže býr záporná, dále \( y^2\leq 2y \) jen pro 0, 1 a 2.
Pokud je y nula, pak je nula i x.
Pokud je y jedna, pak x bude též jedna (nebo -1).
Pokud je y dvojka, pak x je nula.
Takže
\( 0,0 \) nebo \( 0,2 \) nebo \( 1,1 \) nebo \( -1,1 \)
Úloha 3
\( a+b+c=2022 \)
\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2022} \)
\( \frac{1}{a^{2023}}+\frac{1}{b^{2023}}+\frac{1}{c^{2023}}=??? \)
Řešení 3-5
\( a+b+c=2022 \)
\( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2022} \)
