Všechny úlohy řešte v celých číslech
Úloha 1
\( x>0, y>0 \)
\( 2^x+17=y^4 \)
Řešení 1-3
\( 2^x+17=y^4 \)
\( y^4-2^x=17\)
\( x=2k\)
\( y^4-2^{2k}=17\)
\( (y^2)^2-(2^k)^2=17\)
\( (y^2+2^k)(y^2-2^k)=17\)
\( y^2+2^k=17\)
\( y^2-2^k=1\)
\( 2y^2=18\)
\( y^2=9\)
\( y=3\)
\(y^2= 9=2^k+1\)
\( 2^k=8\)
\( k=3, x=6\)
\( x=6, y=3 \)
Úloha 2
\( 2^x+x=37 \)
Řešení 2-3
Lze řešit výčtem
\( 2^x<37 \)
\( x=0,1,2,3,4,5 \) pak \( 2^x=1,4,8,16,32 \)
\( 32+5=37 \)
\( x=5 \)
Pozn,: je také možné použít Lambertovu W funkci viz video (odmítám přepisovat)
Úloha 3
\( a^b - b^a=17 \)
Řešení 3-3
A tady nebudu přepisovat nic.
