Všechny úlohy řešte v celých číslech
Úloha 1
\( \sqrt{m+\sqrt{m+7}}=N \)
Řešení 1-2
Řešení:
\( m+\sqrt{m+7}=N^2 \)
\( m+7=(N^2-m)^2 \)
\( m+7=N^4-2 N^2 m+m^2 \)
\( m^2 -2 N^2 m + N^4-m-7=0 \)
\( m^2 -m (2 N^2 + 1) + N^4-7=0 \)
\( D=(2 N^2 +1)^2 - 4( N^4-7) \)
\( D=4 N^4 +4N^2 +1 - 4 N^4 + 28 \)
\( D= 4N^2 +28+1 \)
\( D= 4 (N^2 +7) +1 \)
\( 4 (N^2 +7) +1 =K^2\)
\( 4 (N^2 +7) = K^2-1\)
\( K^2 =1 mod 4 \)
\( K = 2C+1 \)
\( 4 (N^2 +7) +1 =4 C^2+4C+1 \)
\( 4 (N^2 +7) =4 (C^2+C) \)
\( N^2 +7 = C^2+C \)
z rovnosti polynomů druhého stupně plyne
\( C = 7 \)
\( D=4 C^2+4C+1 =4\cdot 49 +4\cdot 7 +1\)
\( D = 225 \)
\( m= \frac{ (2 N^2 + 1)\pm\sqrt{D}}{2} \)
\( m= \frac{ 99\pm 15}{2} \)
\( m= 42, 57 \)
Zkouška
\( \sqrt{42+\sqrt{42+7}}=7 \)
\( \sqrt{57+\sqrt{57+7}} = \sqrt{66}=? \)
Výsledek
\( m= 42 \)
Úloha 2
\( \frac{a}{b}+\frac{21b}{25a}=N \)
Řešení 2-2
Řešení:
\( \frac{a}{b}+\frac{21b}{25a}=N \)
\( x = \frac{a}{b} \)
\( x+\frac{21}{25x}=N \)
\( 25x^2+21=25Nx \)
\( 25x^2-25Nx+21=0 \)
\( D = (25N)^2 - 4\cdot 25\cdot 21 = 625N^2 -2100 =25(25N^2-84) \)
\(25 N^2-84 = K^2 \)
\( (5N)^2 - K^2 = 84 = 4\cdot 3 \cdot 7 \)
\( (5N + K)(5N-K) = 2 \cdot2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\cdot 2=14\cdot 6 =12\cdot 7 = 28 \cdot 3 = 21\cdot 4 \)
Tedy 5 možností
1.
\( 5N+K=42 \)
\( 5N-K=2 \)
\( 5N=22 \)
2.
\( 5N+K=14 \)
\( 5N-K=6 \)
\( 5N=10 K=4 \)
3.
\( 5N+K=12 \)
\( 5N-K=7 \)
\( 10N=19 \)
4.
\( 5N+K=28 \)
\( 5N-K=3 \)
\( 10N=31 \)
5.
\( 5N+K=21 \)
\(5 N-K=4 \)
\( 10N=25 \)
Takže pouze případ 2 je řešení v celých číslech
2.
\( N=2 a K=4 \)
\( D = 25(25\cdot 2^2-84) = 25 \cdot 16 \)
\( \sqrt{D} = 20 \)
\( x = \frac{50 \pm 20}{50} =1 \pm \frac{2}{5} = \frac{7}{5} nebo \frac{3}{5}\)
Tedy
\( \frac{7}{5}+\frac{21\cdot 5}{25\cdot 7}=2 \)
nebo
\( \frac{3}{5}+\frac{21\cdot 5}{25\cdot 3}=2 \)
Úloha 3
\( m \ne n \)
\( m^2=n+2 \)
\( n^2=m+2 \)
\( 4mn-m^3-n^3=? \)
Řešení 3-2
Řešení:
\( m^2=n+2 \)
\( n^2=m+2 \)
\( m^2- n^2=n-m \)
\( (m+n)(m-n)=n-m \)
\( m+n=-1 \)
\( m^2+ n^2=n+m+4=3 \)
\( (m+ n)^2=m^2+n^2+2mn=3+2mn=1 \)
\( mn=-1 \)
\( (m+n)^3=m^3+3mn(m+n)+n^3= m^3+3+n^3 =-1\)
\( m^3+3+n^3 =-1\)
\( m^3+n^3=-4 \)
\( 4mn-m^3-n^3= 4mn-(m^3+n^3)=-4-(-4)=0 \)
