Všechny úlohy řešte v celých číslech
Úloha 1
\( a^2-b=73\)
\( b^2-a=73\)
a=? b=?
Řešení 1-1
Řešení:
\(a^2-b^2-b+a=0\)
\( (a+b)(a-b)+(a-b)=0\)
\( (a-b)(a+b+1)=0\)
1. \(a=b\)
Pak \( a^2-a=73\)
\( a^2-a-73=0\)
\( D=1+4\cdot73=293\)
odmocnina z 293 není celé číslo
2. \(b=-1-a\)
\(a^2-(-1-a)=73\)
\(a^2+a-72=0\)
\(D=1+4\cdot72= 289\)
\( \sqrt{289} = 17\)
\(a=\frac{-1\pm\sqrt{289}}{2}= -9, 8 \)
Tedy úloha má dvě řešení \( [a,b]= [-9,8] a [8,-9] \)
Úloha 2
\(a+2ab+b=22\)
a=? b=?
Řešení 2-1
Řešení:
Vezmeme b jako parametr, pak
\(a(1+2b)=22-b\)
\(a=\frac{22-b}{1+2b}\)
Pak \(1+2b\) musí dělit \(22-b\).
Tedy \( (1+2b) \leq (22-b) \).
\( 3b \leq 21 \)
\( b \leq 7 \)
a poněvadž je zadání symetrické, tak také
\( a \leq 7 \)
\( \frac{22-b}{1+2b} \leq 7 \)
\( 22-b \leq 7+14b \)
\( 15 \leq 15b \)
\( 1 \leq b \)
A prověříme čísla od 1 do 7.
Pro b=7 je a=1.
Pro b=4 je a=2
Pro b=2 je a=4
Pro b=1 je a=7
Pro b=6,5,3 pak vycházejí racionální čísla.
Úloha 3
\(ab+c=2020\)
\(a+bc=2021\)
a=? b=? c=?
Řešení 3-1
Řešení:
\(a+bc-ab-c=1\)
\(b(c-a)+a-c=1\)
\( (a-c)(1-b)=1\)
\( a-c=\frac{1}{1-b}\)
b=0 nebo b=2
Pro b=0 máme a=2021 c=2020
Pro b=2 pak
\(2a+c=2020\)
\(a+2c=2021\)
První rovnici vynásobíme mínus dvěma a rovnice sečteme, pak
\(-3a=-2019\)
\(a=673\) \(c=674\)
Tedy a=673, b=2, c=674
