Úloha matematické olympiády z Indie (asi základní úroveň)
Znáte
$$6^x+6^y=42 \textrm{ a } x +y =3 $$
Určete x a y.
Řešení:
$$ y=3-x \textrm{ pak } 6^x+6^{3-x}=42$$
Pak lze napsat
$$6^x+\frac{6^3}{6^x}=42 \textrm{ pak když provedeme substituci }A=6^x \textrm{ dostaneme }A+\frac{6^3}{A}=42 \textrm{ a tedy } A^2-42A+3^6=0 $$
Diskriminant \( D =42^2-4\cdot6^3= (6\cdot7)^2-4\cdot6^3=6^2\cdot(7^2-4\cdot6)=6^2\cdot(49-24)=36\cdot25 \)
Pro A nám pak vycházejí dvě řešení \( A_{1,2}=\frac{42\pm30}{2}=36, 6 \)
Po zpětné substituci pak \(x_1=2 \), \(y_1=1\) a \(x_2=1\), \(y_2=2\).
