Určete hodnotu výrazu \( 4mn-m^3-n^3= ? \) pokud znáte \( m^2=n+2 \) a \( n^2=m+2 \) a \( m \ne n \).
Řešení:
Výrazy odečteme $$m^2-n^2 = n-m-2+2=n-m$$
$$ (m+n) (m-n) = n-m$$
$$m+n =-1$$
a výrazy také sečteme
$$m^2+n^2=m+n+4=-1+4=3$$
a umocníme závorku $$ (-1)^2 = (m+n)^2=m^2 +n^2 + 2mn = 3+2mn = 1$$
tedy $$mn=-1$$
$$m^3+ n^3 = (m+n)\cdot (m^2-mn+n^2)=(-1)(3-(-1)) = -4$$
$$4mn - (m^3+n^3)=4\cdot(-1)-(-4)=-4+4=0$$
Tedy
$$4mn-m^3-n^3=0$$
